18) (3x⁴+2x²-1): (x² + 2);

Для решения данного примера необходимо выполнить деление многочлена на многочлен.

Деление многочлена $$(3x^4 + 2x^2 - 1)$$ на многочлен $$(x^2 + 2)$$ выполним столбиком.

1) Делим первый член делимого $$(3x^4)$$ на первый член делителя $$(x^2)$$. Получаем первый член частного: $$\frac{3x^4}{x^2} = 3x^2$$.

2) Умножаем полученный член частного $$(3x^2)$$ на делитель $$(x^2 + 2)$$: $$(3x^2)(x^2 + 2) = 3x^4 + 6x^2$$.

3) Вычитаем полученное выражение из делимого: $$(3x^4 + 2x^2 - 1) - (3x^4 + 6x^2) = -4x^2 - 1$$.

4) Делим первый член полученного выражения $$(-4x^2)$$ на первый член делителя $$(x^2)$$. Получаем второй член частного: $$\frac{-4x^2}{x^2} = -4$$.

5) Умножаем полученный член частного $$(-4)$$ на делитель $$(x^2 + 2)$$: $$(-4)(x^2 + 2) = -4x^2 - 8$$.

6) Вычитаем полученное выражение из предыдущего: $$(-4x^2 - 1) - (-4x^2 - 8) = 7$$.

Так как остаток не равен нулю, деление с остатком.

Следовательно, $$(3x^4 + 2x^2 - 1) ∶ (x^2 + 2) = 3x^2 - 4 + \frac{7}{x^2 + 2}$$.

Ответ: $$3x^2 - 4 + \frac{7}{x^2 + 2}$$