15) (8x⁵ +12x⁴ -10x³ −15x²): (4x² −5);

Для решения данного примера необходимо выполнить деление многочлена на многочлен.

Деление многочлена $$(8x^5 + 12x^4 - 10x^3 - 15x^2)$$ на многочлен $$(4x^2 - 5)$$ выполним столбиком.

1) Делим первый член делимого $$(8x^5)$$ на первый член делителя $$(4x^2)$$. Получаем первый член частного: $$\frac{8x^5}{4x^2} = 2x^3$$.

2) Умножаем полученный член частного $$(2x^3)$$ на делитель $$(4x^2 - 5)$$: $$(2x^3)(4x^2 - 5) = 8x^5 - 10x^3$$.

3) Вычитаем полученное выражение из делимого: $$(8x^5 + 12x^4 - 10x^3 - 15x^2) - (8x^5 - 10x^3) = 12x^4 - 15x^2$$.

4) Делим первый член полученного выражения $$(12x^4)$$ на первый член делителя $$(4x^2)$$. Получаем второй член частного: $$\frac{12x^4}{4x^2} = 3x^2$$.

5) Умножаем полученный член частного $$(3x^2)$$ на делитель $$(4x^2 - 5)$$: $$(3x^2)(4x^2 - 5) = 12x^4 - 15x^2$$.

6) Вычитаем полученное выражение из предыдущего: $$(12x^4 - 15x^2) - (12x^4 - 15x^2) = 0$$.

Так как остаток равен нулю, деление завершено.

Следовательно, $$(8x^5 + 12x^4 - 10x^3 - 15x^2) ∶ (4x^2 - 5) = 2x^3 + 3x^2$$.

Ответ: $$2x^3 + 3x^2$$