11.(x-1)(x-2) ≤ 0 (x-3)(x-4)

Решаем неравенство $$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \le 0$$ методом интервалов:

1. Находим корни числителя: $$(x-1)(x-2) = 0$$. Корни: $$x = 1$$ и $$x = 2$$.
2. Находим корни знаменателя: $$(x-3)(x-4) = 0$$. Корни: $$x = 3$$ и $$x = 4$$.
3. Отмечаем корни на числовой прямой:

   +      -      +      -      +
----(1)----(2)----(3)----(4)---->

• $$x < 1$$: выбираем $$x = 0$$, тогда $$\frac{(0-1)(0-2)}{(0-3)(0-4)} = \frac{(-1)(-2)}{(-3)(-4)} = \frac{2}{12} > 0$$ (знак +)
• $$1 < x < 2$$: выбираем $$x = 1.5$$, тогда $$\frac{(1.5-1)(1.5-2)}{(1.5-3)(1.5-4)} = \frac{(0.5)(-0.5)}{(-1.5)(-2.5)} = \frac{-0.25}{3.75} < 0$$ (знак -)
• $$2 < x < 3$$: выбираем $$x = 2.5$$, тогда $$\frac{(2.5-1)(2.5-2)}{(2.5-3)(2.5-4)} = \frac{(1.5)(0.5)}{(-0.5)(-1.5)} = \frac{0.75}{0.75} > 0$$ (знак +)
• $$3 < x < 4$$: выбираем $$x = 3.5$$, тогда $$\frac{(3.5-1)(3.5-2)}{(3.5-3)(3.5-4)} = \frac{(2.5)(1.5)}{(0.5)(-0.5)} = \frac{3.75}{-0.25} < 0$$ (знак -)
• $$x > 4$$: выбираем $$x = 5$$, тогда $$\frac{(5-1)(5-2)}{(5-3)(5-4)} = \frac{(4)(3)}{(2)(1)} = \frac{12}{2} > 0$$ (знак +)

Так как требуется $$\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)} \le 0$$, выбираем интервалы, где знак минус или равно нулю.

Важно: $$x = 1$$ и $$x = 2$$ входят в решение, так как неравенство нестрогое. $$x = 3$$ и $$x = 4$$ не входят, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: $$x \in [1; 2] \cup (3; 4)$$