6)y = 5sinx + √x

Для нахождения производной функции $$y = 5\sin x + \sqrt{x}$$ используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования тригонометрической и степенной функций.

1. Представим корень как степень: $$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$$.

2. Функция имеет вид: $$y = 5\sin x + x^{\frac{1}{2}}$$.

3. Применим правило дифференцирования синуса: $$(\sin x)' = \cos x$$.

4. Применим правило дифференцирования степенной функции: $$(x^n)' = nx^{n-1}$$.

5. Дифференцируем каждое слагаемое:

• Производная $$5\sin x$$ равна $$5\cos x$$
• Производная $$x^{\frac{1}{2}}$$ равна $$\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

6. Складываем производные:

$$y' = 5\cos x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: $$y' = 5\cos x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$