14)y = ctgx

Для нахождения производной функции $$y = \frac{4x}{\operatorname{ctg}x}$$ используем правило частного.

1. Правило частного: $$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$, где $$u = 4x$$ и $$v = \operatorname{ctg}x$$.

2. Найдем производные $$u$$ и $$v$$:

• $$u' = (4x)' = 4$$
• $$v' = (\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$$

3. Применим правило частного:

$$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(4)(\operatorname{ctg}x) - (4x)(-\frac{1}{\sin^2x})}{\operatorname{ctg}^2x}$$

4. Упростим выражение:

$$y' = \frac{4\operatorname{ctg}x + \frac{4x}{\sin^2x}}{\operatorname{ctg}^2x}$$

Ответ: $$y' = \frac{4\operatorname{ctg}x + \frac{4x}{\sin^2x}}{\operatorname{ctg}^2x}$$