5.43. y = x/1+2x².

Функция $$y = \frac{x}{1 + 2x^2}$$ определена для всех действительных чисел, так как знаменатель $$1 + 2x^2$$ всегда больше нуля. Для нахождения области значений найдем производную функции и приравняем её к нулю.

Производная функции:

$$ y' = \frac{(1 + 2x^2) - x(4x)}{(1 + 2x^2)^2} = \frac{1 - 2x^2}{(1 + 2x^2)^2} $$

Приравниваем производную к нулю:

$$ 1 - 2x^2 = 0 $$ $$ x^2 = \frac{1}{2} $$ $$ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Подставляем эти значения в исходную функцию:

$$ y(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1 + 2(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $$ $$ y(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{1 + 2(\frac{1}{2})} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} $$

Область значений функции: $$[-\frac{1}{2\sqrt{2}}; \frac{1}{2\sqrt{2}}]$$

Ответ: $$[-\frac{\sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}]$$