5.48. Известно, что y(x) = 10*, a y(2+z(x)) = 100√х . Найти z(x).

Дано: $$y(x) = 10^x$$ и $$y(2 + z(x)) = 100\sqrt{x}$$.

Нужно найти $$z(x)$$.

Так как $$y(2 + z(x)) = 10^{2 + z(x)}$$, то $$10^{2 + z(x)} = 100\sqrt{x}$$.

Преобразуем правую часть уравнения: $$100\sqrt{x} = 10^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} = 10^2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$$.

$$10^{2 + z(x)} = 10^2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$$.

Логарифмируем обе части по основанию 10:

$$\log_{10}(10^{2 + z(x)}) = \log_{10}(10^2 \cdot x^{\frac{1}{2}})$$

$$2 + z(x) = \log_{10}(10^2) + \log_{10}(x^{\frac{1}{2}})$$

$$2 + z(x) = 2 + \frac{1}{2} \log_{10} x$$

$$z(x) = \frac{1}{2} \log_{10} x$$

Ответ: $$z(x) = \frac{1}{2} \log_{10} x$$.