5.42. y = 3 sin 4x + 4 cos 4x.

Для функции $$y = 3 \sin 4x + 4 \cos 4x$$ нужно найти область значений. Заметим, что данную функцию можно представить в виде $$R \sin(4x + \phi)$$, где $$R = \sqrt{3^2 + 4^2}$$ и $$\phi$$ - некоторый угол.

Вычислим R:

$$ R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

Таким образом, $$y = 5 \sin(4x + \phi)$$.

Поскольку синус принимает значения от -1 до 1, то:

$$ -1 \leq \sin(4x + \phi) \leq 1 $$

Умножая на 5, получаем:

$$ -5 \leq 5 \sin(4x + \phi) \leq 5 $$

Следовательно, область значений функции $$y$$ – это отрезок от -5 до 5.

Ответ: $$[-5; 5]$$.