1-й год обучения. Серия 30, инвариант. Задачи 1. Перед Роном лежит кучка из 100 камней. За одно действие он может разделить одну кучку на две или объединить две кучки в одну. Может ли Рон такими действиями получить 5 кучек по 25 камней?

Для решения задачи можно использовать инвариант - остаток от деления на 4. Изначально у нас одна кучка из 100 камней, то есть остаток от деления на 4 равен 0 (100 mod 4 = 0).

При разделении кучки на две, сумма остатков от деления на 4 этих двух кучек будет равна остатку исходной кучки. Если у нас кучка из n камней, и мы делим её на две кучки x и y, то n = x + y. Тогда n mod 4 = (x + y) mod 4 = (x mod 4 + y mod 4) mod 4.

При объединении двух кучек в одну, остаток от деления на 4 также не меняется.

Если бы Рон смог получить 5 кучек по 25 камней, то общая сумма остатков от деления на 4 была бы 5 * (25 mod 4) = 5 * 1 = 5. Так как 5 mod 4 = 1, то итоговый остаток должен быть равен 1.

Однако, мы знаем, что начальный остаток был 0, и при каждой операции (разделение или объединение) остаток не меняется. Таким образом, Рон не может получить 5 кучек по 25 камней.

Ответ: Нет, не может.