Я попросил бы их сказал доктор любезно обращаясь ко мне с этого дня дежурить при больном. (В. Гаршин).

Решение:

Расставляем знаки препинания, учитывая прямую речь и слова автора.

1. «Я попросил бы их», — сказал доктор, любезно обращаясь ко мне, — «с этого дня дежурить при больном». (В. Гаршин).

Пояснение:

• Кавычки и тире обозначают прямую речь, которая прерывается словами автора.
• Запятая после «них» разделяет прямую речь и слова автора.
• Запятые выделяют обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом «любезно обращаясь ко мне».
• Второе тире разделяет две части прямой речи, связанные по смыслу.
• Точка в конце предложения ставится после закрывающих кавычек, так как вся конструкция является повествовательным предложением.

Ответ: «Я попросил бы их», — сказал доктор, любезно обращаясь ко мне, — «с этого дня дежурить при больном». (В. Гаршин).