4. Является ли число 114 членом арифметической прогрессии (( a_n )), в которой ( a_1 = 2 ) и ( a_{21} = 142 )?

Чтобы проверить, является ли число 114 членом данной арифметической прогрессии, нужно сначала найти разность ( d ) прогрессии, а затем выразить общий член ( a_n ) и проверить, существует ли такое натуральное ( n ), что ( a_n = 114 ). 1. Найдем разность арифметической прогрессии ( d ). Известно, что ( a_{21} = a_1 + 20d ). Подставим известные значения: ( 142 = 2 + 20d ). Тогда ( 20d = 140 ), следовательно, ( d = 7 ). 2. Запишем формулу для ( n )-го члена арифметической прогрессии: ( a_n = a_1 + (n-1)d ). Подставим ( a_1 = 2 ) и ( d = 7 ): ( a_n = 2 + (n-1)7 ). 3. Проверим, существует ли такое ( n ), что ( a_n = 114 ): ( 114 = 2 + (n-1)7 ). ( 112 = (n-1)7 ). ( n-1 = \frac{112}{7} ). ( n-1 = 16 ). ( n = 17 ). Так как ( n = 17 ) является натуральным числом, то число 114 является членом арифметической прогрессии. Ответ: Да, число 114 является членом арифметической прогрессии (17-м членом).