6) y=4x-x², y = 4-x

6) $$y = 4x - x^2$$, $$y = 4 - x$$. Найдем точки пересечения графиков функций, приравняв правые части уравнений:

$$4x - x^2 = 4 - x$$

$$x^2 - 5x + 4 = 0$$

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = 5$$

$$x_1 \cdot x_2 = 4$$

$$x_1 = 1, x_2 = 4$$

На отрезке $$[1, 4]$$ функция $$y = 4x - x^2$$ больше или равна, чем $$y = 4 - x$$. Площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, равна интегралу:

$$S = \int_{1}^{4} ((4x - x^2) - (4 - x)) dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) dx$$

$$S = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 4x]_1^4 = (-\frac{1}{3}(4)^3 + \frac{5}{2}(4)^2 - 4(4)) - (-\frac{1}{3}(1)^3 + \frac{5}{2}(1)^2 - 4(1))$$

$$S = (-\frac{64}{3} + 40 - 16) - (-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4) = (-\frac{64}{3} + 24) - (\frac{-2 + 15 - 24}{6}) = (\frac{-64 + 72}{3}) - (\frac{-11}{6}) = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16 + 11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

$$S = \frac{9}{2}$$ квадратных единиц.

Ответ: $$\frac{9}{2}$$