За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 9 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся? Список заданий викторины состоял из 25 вопросов.

Пусть ученик дал \(x\) правильных и \(y\) неправильных ответов. Тогда:

\(7x-9y=56\), причём \(y\geqslant1\) и \(x+y\leqslant25\).

Из уравнения получаем:

\(7x=56+9y\).

Правая часть должна делиться на 7. Так как \(56\) делится на 7, число \(9y\), а значит и \(y\), должно делиться на 7. Минимальное положительное значение \(y\) — 7.

Тогда:

\(7x-9\cdot7=56\),
\(7x=119\),
\(x=17\).

Проверка: \(17+7=24\leqslant25\), значит, ещё один вопрос мог остаться без ответа.

Ответ: 17 верных ответов.