Задача 5: |a| = 2√2; |b| = 4; угол между a и b равен 135°. Найдите |a + 2b|.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой: $$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2$$ Нам известно, что $$|a| = 2\sqrt{2}$$, $$|b| = 4$$, и угол между a и b равен 135°. Тогда: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |a| \cdot |b| \cdot cos(135^{\circ}) = 2\sqrt{2} \cdot 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -8$$ Теперь подставим известные значения в формулу: $$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (2\sqrt{2})^2 + 4 \cdot (-8) + 4 \cdot 4^2 = 8 - 32 + 64 = 40$$ Следовательно: $$|\vec{a} + 2\vec{b}| = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$ Ответ: $$2\sqrt{10}$$