Задача 2: BD – биссектриса прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. Доказать, что точка D равноудалена от прямых BC и AB (из точки D проведите перпендикуляр к AB).

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), BD - биссектриса угла B. Доказать: Расстояние от точки D до BC равно расстоянию от точки D до AB. Доказательство: 1. Поскольку BD – биссектриса угла B, то \(\angle CBD = \angle ABD\). 2. Пусть DE – перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону AB (по условию). Также у нас есть, что DC перпендикулярен BC (так как \(\angle C = 90^\circ\)). 3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: \(\triangle BCD\) и \(\triangle BED\). * BD – общая сторона. * \(\angle CBD = \angle ABD\) (так как BD – биссектриса). 4. Следовательно, \(\triangle BCD = \triangle BED\) по гипотенузе и острому углу. 5. Из равенства треугольников следует, что CD = DE. Это означает, что расстояние от точки D до BC равно расстоянию от точки D до AB. Что и требовалось доказать.