Задача 3: Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой угол, один из которых равен 70°. Найдите острые углы этого треугольника. Укажите правильные варианты: 1, 3, 4, 9, 11, 12.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Биссектриса угла C пересекает гипотенузу AB в точке D. Угол между биссектрисой CD и гипотенузой равен 70°. Рассмотрим два случая: Случай 1: \( \angle CDA = 70^\circ \) 1. Найдем угол ACD: Так как CD - биссектриса угла C, то \( \angle ACD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \) 2. Найдем угол A в треугольнике ADC: \( \angle A = 180^\circ - (\angle CDA + \angle ACD) = 180^\circ - (70^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \) 3. Найдем угол B: \( \angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ \) Случай 2: \( \angle CDB = 70^\circ \) 1. Найдем угол BCD: \( \angle BCD = 45^\circ \) (так как CD - биссектриса прямого угла). 2. Найдем угол B в треугольнике BDC: \( \angle B = 180^\circ - (\angle CDB + \angle BCD) = 180^\circ - (70^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \) 3. Найдем угол A: \( \angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 65^\circ = 25^\circ \) Таким образом, углы A и B равны 65° и 25° в каком-то порядке. Ответ: Острые углы треугольника равны 25° и 65°. Среди предложенных вариантов нет подходящего ответа.