Задача 335: Биссектрисы внешних углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке O. Докажите, что точка O равноудалена от прямых AB, BC и CA.

Доказательство: Пусть точка О – точка пересечения биссектрис внешних углов B и C треугольника ABC. Обозначим расстояния от точки O до прямых AB, BC и CA как (d_{AB}), (d_{BC}) и (d_{CA}) соответственно. 1. Поскольку O лежит на биссектрисе внешнего угла B, она равноудалена от прямых AB и BC. Следовательно, (d_{AB} = d_{BC}). 2. Аналогично, поскольку O лежит на биссектрисе внешнего угла C, она равноудалена от прямых BC и CA. Следовательно, (d_{BC} = d_{CA}). 3. Из (d_{AB} = d_{BC}) и (d_{BC} = d_{CA}) следует, что (d_{AB} = d_{BC} = d_{CA}). То есть точка O равноудалена от прямых AB, BC и CA, что и требовалось доказать. Пояснение: Биссектриса угла – это прямая, каждая точка которой находится на одинаковом расстоянии от сторон угла. Используя этот факт для внешних углов B и C, мы показываем, что точка O равноудалена от всех трех прямых, содержащих стороны треугольника.