Задача 16: Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке L, BL = 7, DL = 21, BC = 4 (см. рис. 188). Найдите AD.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством секущихся окружностей. Если две секущие пересекаются вне окружности, то произведение внешней части на всю секущую для одной секущей равно произведению внешней части на всю секущую для другой секущей. В нашем случае, секущие - это прямые AB и CD, пересекающиеся в точке L. 1. Найдем LC. Поскольку ABCD вписан в окружность, четырехугольник LBСА - также вписанный. Значит, углы ∠ABL и ∠CDL равны, и ∠BCL и ∠DAL равны. Тогда треугольники LBC и LDA подобны. Поэтому $$\frac{LB}{LD} = \frac{BC}{DA}$$ 2. Выразим DA из этого уравнения: $$DA = \frac{LD * BC}{LB}$$ 3. Подставим известные значения: LD = 21, BC = 4, LB = 7. $$DA = \frac{21 * 4}{7} = \frac{84}{7} = 12$$ Ответ: AD = 12. Развернутый ответ для школьника: Чтобы решить эту задачу, нужно знать, что если четырехугольник вписан в окружность, то есть все его вершины лежат на окружности, и две его стороны продолжены до пересечения вне окружности, то можно использовать подобие треугольников, образованных этими сторонами и секущими. В данном случае, треугольники LBC и LDA подобны, и мы можем найти AD, используя пропорциональность сторон подобных треугольников.