Задача 6: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 27°, ∠ABD=61° и ∠BDC=73°. Найдите углы четырёхугольника.

Дано: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, ∠DBC = 27°, ∠ABD = 61°, ∠BDC = 73°. Решение: 1. Найдем ∠ABC. Так как ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, то ∠ABC = 61° + 27° = 88°. 2. Найдем ∠BAC. Так как углы ∠BDC и ∠BAC опираются на одну и ту же дугу BC, то они равны: ∠BAC = ∠BDC = 73°. 3. Найдем ∠ADC. Так как ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC, нам нужно найти ∠ADB. Угол ∠ADB опирается на ту же дугу, что и угол ∠ACB. Значит, нужно найти ∠ACB. ∠ACB = ∠DBC = 27° (углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Тогда ∠ADB = ∠ACB = 27°. Значит, ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 27° + 73° = 100°. 4. Найдем ∠BCD. ∠BCD + ∠BAD = 180° (свойство вписанного четырехугольника). Найдем ∠BAD: ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD. ∠CAD = ∠CBD = 27° (опираются на одну дугу). ∠BAD = 73° + 27° = 100°. ∠BCD = 180° - 100° = 80°. Ответ: ∠ABC = 88°, ∠BCD = 80°, ∠CDA = 100°, ∠DAB = 100°.