Задача 7*: В окружности радиуса 12 см проведён диаметр и на нём взята точка A на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке A и изнутри касается данной окружности.

Дано: Большая окружность: Радиус $$R = 12$$ см, центр в точке O. Точка A на диаметре большой окружности: $$OA = 5$$ см. Малая окружность: Касается диаметра большой окружности в точке A и касается большой окружности изнутри. Решение: 1. Пусть $$r$$ - радиус малой окружности, а $$O_1$$ - её центр. Так как малая окружность касается диаметра большой окружности в точке A, то $$O_1A = r$$, и $$O_1A$$ перпендикулярна этому диаметру. 2. Центр $$O_1$$ малой окружности лежит на прямой, перпендикулярной диаметру большой окружности и проходящей через точку A. Так как малая окружность касается большой изнутри, расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов: $$OO_1 = R - r = 12 - r$$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OO_1A$$. В этом треугольнике: * $$OA = 5$$ см (дано). * $$O_1A = r$$ (радиус малой окружности). * $$OO_1 = 12 - r$$ (расстояние между центрами окружностей). 4. По теореме Пифагора для треугольника $$OO_1A$$: $$OA^2 + O_1A^2 = OO_1^2$$ $$5^2 + r^2 = (12 - r)^2$$ $$25 + r^2 = 144 - 24r + r^2$$ $$25 = 144 - 24r$$ $$24r = 144 - 25$$ $$24r = 119$$ $$r = \frac{119}{24}$$ $$r \approx 4.96 \text{ см}$$ Ответ: Радиус малой окружности равен $$\frac{119}{24}$$ см ≈ 4.96 см.