Задача 3: К окружности с центром в точке O проведены касательная MH и секущая MO. Найдите радиус окружности, если MH = 4 см, MO = 5 см.

Для решения этой задачи, нам понадобится теорема о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Пусть радиус окружности равен r. По теореме о касательной и секущей, квадрат длины касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. В данном случае, MH - касательная, а MO - секущая. Пусть точка пересечения секущей с окружностью, ближайшая к точке M, будет точкой N. Тогда MO = 5 см. Необходимо найти длину MN, чтобы определить внешнюю часть секущей. Так как ON - радиус, и он перпендикулярен касательной MH в точке H (свойство касательной), то треугольник MHO - прямоугольный. По теореме Пифагора для треугольника MHO: $$MO^2 = MH^2 + HO^2$$ $$5^2 = 4^2 + r^2$$ $$25 = 16 + r^2$$ $$r^2 = 25 - 16$$ $$r^2 = 9$$ $$r = \sqrt{9}$$ $$r = 3$$ Ответ: Радиус окружности равен 3 см.