Задача 4. Даны функция ==f(x, y) или u=f (x, y, z) и точки А и В. Найти → grad: в точке А; производную по направлению АВ в точке А. 8. = = arcsin, A (3; (3; 5), B (4; 5). X y

Задача 4. Даны функция $$z = f(x, y)$$ или $$u = f(x, y, z)$$ и точки A и B. Найти $$\overrightarrow{grad} z$$ в точке A; производную по направлению $$\overrightarrow{AB}$$ в точке A.

$$8.\ z = \arcsin(\frac{x}{y}), A (3; 5), B (4; 5).$$

1. Найдем частные производные функции z по x и y:
   • $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{y})^2}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{y\sqrt{1 - \frac{x^2}{y^2}}} = \frac{1}{y\sqrt{\frac{y^2 - x^2}{y^2}}} = \frac{1}{\sqrt{y^2 - x^2}}$$
   • $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{y})^2}} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = -\frac{x}{y^2\sqrt{1 - \frac{x^2}{y^2}}} = -\frac{x}{y^2\sqrt{\frac{y^2 - x^2}{y^2}}} = -\frac{x}{y\sqrt{y^2 - x^2}}$$
2. Вычислим значения частных производных в точке A(3, 5):
   • $$\frac{\partial z}{\partial x}(A) = \frac{1}{\sqrt{5^2 - 3^2}} = \frac{1}{\sqrt{25 - 9}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$$
   • $$\frac{\partial z}{\partial y}(A) = -\frac{3}{5\sqrt{5^2 - 3^2}} = -\frac{3}{5\sqrt{25 - 9}} = -\frac{3}{5\sqrt{16}} = -\frac{3}{5 \cdot 4} = -\frac{3}{20}$$
3. Градиент функции z в точке A: $$\overrightarrow{grad} z(A) = (\frac{\partial z}{\partial x}(A), \frac{\partial z}{\partial y}(A)) = (\frac{1}{4}, -\frac{3}{20})$$
4. Найдем вектор $$\overrightarrow{AB}$$: $$\overrightarrow{AB} = (4 - 3, 5 - 5) = (1, 0)$$
5. Найдем единичный вектор направления $$\overrightarrow{AB}$$: $$\overrightarrow{e} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{(1, 0)}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = (1, 0)$$
6. Производная по направлению $$\overrightarrow{AB}$$ в точке A: $$\frac{\partial z}{\partial \overrightarrow{AB}}(A) = \overrightarrow{grad} z(A) \cdot \overrightarrow{e} = (\frac{1}{4}, -\frac{3}{20}) \cdot (1, 0) = \frac{1}{4} \cdot 1 + (-\frac{3}{20}) \cdot 0 = \frac{1}{4}$$

Ответ: $$\overrightarrow{grad} z(A) = (\frac{1}{4}, -\frac{3}{20})$$, производная по направлению $$\overrightarrow{AB}$$ в точке A: $$\frac{1}{4}$$.