Задача 2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке Мо(хо, Уо, 20). 8. x² + y² - xz - yz = 0, Mo (0,2,2).

Задача 2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке $$M_0(x_0, y_0, z_0)$$.

$$8.\ x^2 + y^2 - xz - yz = 0, M_0 (0,2,2).$$

Пусть $$F(x, y, z) = x^2 + y^2 - xz - yz$$. Тогда

1. Найдем частные производные функции $$F(x, y, z)$$.
   • $$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x - z$$
   • $$\frac{\partial F}{\partial y} = 2y - z$$
   • $$\frac{\partial F}{\partial z} = -x - y$$
2. Вычислим значения частных производных в точке $$M_0(0, 2, 2)$$.
   • $$\frac{\partial F}{\partial x}(M_0) = 2(0) - 2 = -2$$
   • $$\frac{\partial F}{\partial y}(M_0) = 2(2) - 2 = 2$$
   • $$\frac{\partial F}{\partial z}(M_0) = -0 - 2 = -2$$
3. Уравнение касательной плоскости имеет вид: $$\frac{\partial F}{\partial x}(M_0)(x - x_0) + \frac{\partial F}{\partial y}(M_0)(y - y_0) + \frac{\partial F}{\partial z}(M_0)(z - z_0) = 0$$
4. Подставим найденные значения: $$-2(x - 0) + 2(y - 2) - 2(z - 2) = 0$$ $$-2x + 2y - 4 - 2z + 4 = 0$$ $$-2x + 2y - 2z = 0$$ $$x - y + z = 0$$
5. Уравнение нормали имеет вид: $$\frac{x - x_0}{\frac{\partial F}{\partial x}(M_0)} = \frac{y - y_0}{\frac{\partial F}{\partial y}(M_0)} = \frac{z - z_0}{\frac{\partial F}{\partial z}(M_0)}$$
6. Подставим найденные значения: $$\frac{x - 0}{-2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 2}{-2}$$ $$\frac{x}{-2} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 2}{-2}$$ $$-x = y - 2 = -z + 2$$

Ответ: Уравнение касательной плоскости: $$x - y + z = 0$$. Уравнение нормали: $$-x = y - 2 = -z + 2$$.