Задача 3. Найти экстремумы функции. 8. z = x2 + xy-x-y+1.

Задача 3. Найти экстремумы функции.

$$8.\ z = x^2 + xy - x - y + 1$$

1. Найдем частные производные функции z по x и y:
   • $$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y - 1$$
   • $$\frac{\partial z}{\partial y} = x - y - 1$$
2. Приравняем частные производные к нулю и решим систему уравнений: $$\begin{cases} 2x + y - 1 = 0\\ x - y - 1 = 0 \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$$ Подставим x в первое уравнение: $$2(\frac{2}{3}) + y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$$ Получили стационарную точку $$(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$$.
3. Найдем вторые частные производные:
   • $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2$$
   • $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 0$$
   • $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 1$$
4. Вычислим определитель: $$\Delta = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y})^2 = 2 \cdot 0 - 1^2 = -1$$ Так как $$\Delta < 0$$, то в точке $$(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$$ нет экстремума.

Ответ: Экстремумов нет.