Задача 1. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция ==f(x, y) 8. \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0, z= ln(x^{2} + y^{2}).

Задача 1. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция $$z = f(x, y)$$.

$$8.\ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0, z= \ln(x^{2} + y^{2}).$$

Проверим, удовлетворяет ли функция $$z = \ln(x^2 + y^2)$$ данному уравнению.

1. Найдем первую частную производную по x: $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$$
2. Найдем вторую частную производную по x: $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2x(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2}$$
3. Найдем первую частную производную по y: $$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{2y}{x^2 + y^2}$$
4. Найдем вторую частную производную по y: $$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2(x^2 + y^2) - 2y(2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 - 4y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2}$$
5. Подставим найденные производные в уравнение: $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{2y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2y^2 - 2x^2 + 2x^2 - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{0}{(x^2 + y^2)^2} = 0$$

Таким образом, функция $$z = \ln(x^2 + y^2)$$ удовлетворяет данному уравнению.

Ответ: Удовлетворяет.