Задача 1: Даны стороны треугольника: 6 см, 7 см и х см. Какое значение может иметь х, чтобы треугольник можно было построить?

В треугольнике любая сторона должна быть меньше суммы двух других сторон и больше их разности. Это условие называется неравенством треугольника.

Пусть стороны треугольника a, b и c. Тогда должны выполняться следующие неравенства:

$$a + b > c$$

$$a + c > b$$

$$b + c > a$$

В нашем случае a = 6 см, b = 7 см и c = x см. Подставим значения в неравенства:

$$6 + 7 > x$$

$$6 + x > 7$$

$$7 + x > 6$$

Решим каждое неравенство:

1. $$13 > x$$ или $$x < 13$$
2. $$x > 7 - 6$$ или $$x > 1$$
3. $$x > 6 - 7$$ или $$x > -1$$ (это неравенство всегда выполняется, так как длина стороны не может быть отрицательной)

Таким образом, x должен быть больше 1 и меньше 13.

$$1 < x < 13$$

Ответ: x должен быть больше 1 см и меньше 13 см.