Задача 1. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором диагональ BD образует углы ∠ABD = 65° и ∠BDC = 50°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. ∠ABC + ∠BCD = 180° Угол ∠ABC состоит из двух углов: ∠ABD и ∠DBC. Найдем угол ∠DBC: ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD Сумма углов в треугольнике равна 180°. Рассмотрим треугольник BCD: ∠DBC + ∠BDC + ∠BCD = 180° Выразим угол ∠DBC: ∠DBC = 180° - ∠BDC - ∠BCD Так как ∠ABC + ∠BCD = 180°, то ∠BCD = 180° - ∠ABC. Подставим это значение в предыдущее уравнение: ∠DBC = 180° - ∠BDC - (180° - ∠ABC) = ∠ABC - ∠BDC Мы знаем, что ∠BDC = 50°, поэтому: ∠DBC = ∠ABC - 50° Теперь у нас есть два выражения для ∠DBC: ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD и ∠DBC = ∠ABC - 50° Так как ∠ABD = 65°, то: ∠DBC = ∠ABC - 65° и ∠DBC = ∠ABC - 50° Но это невозможно, так как ∠ABD = 65°, следовательно, диагональ BD образует угол 65° со стороной AB, а угол 50° со стороной CD. То есть ∠ADB = 50° Рассмотрим треугольник ABD: ∠ABD + ∠ADB + ∠BAD = 180° 65° + 50° + ∠BAD = 180° 115° + ∠BAD = 180° ∠BAD = 180° - 115° = 65° Значит ∠BCD = ∠BAD = 65° ∠ABC = 180° - ∠BCD = 180° - 65° = 115° ∠ADC = ∠ABC = 115° Меньший угол параллелограмма равен 65°.