Задача №1. Докажите, что геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек А и В, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Доказательство:

• Пусть дана точка C, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Тогда треугольники ΔАСО и ΔВСО равны по двум сторонам (AO = OB, CO - общая сторона) и углу между ними (∠AOC = ∠BOC = 90°). Следовательно, AC = BC, и точка C равноудалена от точек A и B.
• Теперь предположим, что точка C равноудалена от точек A и B, то есть AC = BC. Пусть O - середина отрезка AB. Тогда треугольники ΔАСО и ΔВСО равны по трем сторонам (AO = OB, CO - общая сторона, AC = BC). Следовательно, углы ∠AOC и ∠BOC равны. Так как они смежные, то ∠AOC = ∠BOC = 90°, и прямая CO является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Таким образом, геометрическое место точек, равноудаленных от точек A и B, является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Ответ: доказано.