Задача 1. Две деревни расположены на берегу реки, скорость течения которой постоянна. Лодка, двигаясь с постоянной скоростью от одной деревни до другой, затратила на путь по течению реки 5 часов, а на обратный путь 6 часов. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки, если расстояние от одной деревни до другой составляет 90 километров.

Решение: Пусть (v) – собственная скорость лодки, а (u) – скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки равна (v + u), а против течения (v - u). Расстояние между деревнями равно 90 км. Время, затраченное на путь по течению реки, равно 5 часам, а против течения – 6 часам. Составим систему уравнений: \[\begin{cases} (v + u) \cdot 5 = 90 \\ (v - u) \cdot 6 = 90 \end{cases}\] Решим эту систему уравнений: Разделим первое уравнение на 5, а второе на 6: \[\begin{cases} v + u = 18 \\ v - u = 15 \end{cases}\] Сложим эти два уравнения: (2v = 33) (v = 16.5) км/ч Теперь найдем скорость течения реки (u): (16.5 + u = 18) (u = 18 - 16.5) (u = 1.5) км/ч Ответ: Собственная скорость лодки равна **16.5 км/ч**, а скорость течения реки равна **1.5 км/ч**.