Задача 3. Туристический маршрут ведёт от станции сначала вверх на вершину холма, а затем вниз по склону холма к озеру. При подъёме туристы идут со скоростью 3 км/ч, а при спуске со скоростью 4 км/ч. Путь от станции до озера занимает 6 часов, а обратный путь 5 часов 40 минут. Найдите длину маршрута.

Решение: Пусть (x) – расстояние от станции до вершины холма, а (y) – расстояние от вершины холма до озера. Тогда время, затраченное на путь от станции до озера: (\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 6) Время, затраченное на обратный путь: (\frac{y}{3} + \frac{x}{4} = 5 \frac{2}{3} = \frac{17}{3}) Составим систему уравнений: \[\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 6 \\ \frac{y}{3} + \frac{x}{4} = \frac{17}{3} \end{cases}\] Умножим первое уравнение на 12, а второе на 12: \[\begin{cases} 4x + 3y = 72 \\ 4y + 3x = 68 \end{cases}\] Выразим (x) из первого уравнения: (4x = 72 - 3y), (x = 18 - \frac{3}{4}y) Подставим это во второе уравнение: (4y + 3(18 - \frac{3}{4}y) = 68) (4y + 54 - \frac{9}{4}y = 68) \(\frac{16y - 9y}{4} = 14) \(\frac{7y}{4} = 14) (7y = 56) (y = 8) км Тогда (x = 18 - \frac{3}{4} \cdot 8 = 18 - 6 = 12) км Длина маршрута: (x + y = 12 + 8 = 20) км Ответ: Длина маршрута составляет **20 км**.