Задача 2. Из пункта А в пункт Б выехал велосипедист, а через 15 минут за ним выехал автомобилист. Оба двигались с постоянными скоростями. На середине пути из А в Б автомобилист догнал велосипедиста. Когда автомобилист прибыл в пункт Б, велосипедисту оставалось проехать еще четверть пути. Сколько времени затратили на путь из А в Б велосипедист и автомобилист?

Решение: Пусть (S) – расстояние между пунктами А и Б. Пусть (v_1) – скорость велосипедиста, а (v_2) – скорость автомобилиста. Пусть (t_1) – время, которое велосипедист затратил на путь из А в Б, а (t_2) – время, которое автомобилист затратил на путь из А в Б. Автомобилист выехал на 15 минут позже велосипедиста, то есть на (\frac{1}{4}) часа. Когда автомобилист догнал велосипедиста на середине пути, они оба проехали (\frac{S}{2}). Время, которое велосипедист потратил до встречи с автомобилистом: (\frac{S}{2v_1}). Время, которое автомобилист потратил до встречи с велосипедистом: (\frac{S}{2v_2}). Тогда (\frac{S}{2v_1} - \frac{S}{2v_2} = \frac{1}{4}) Когда автомобилист прибыл в пункт Б, велосипедисту оставалось проехать (\frac{S}{4}). Значит, автомобилист проехал расстояние (S) за время (\frac{S}{v_2}), а велосипедист проехал расстояние (\frac{3S}{4}) за время (\frac{S}{v_2}). Тогда (\frac{3S}{4v_1} = \frac{S}{v_2}), откуда (v_2 = \frac{4}{3}v_1). Подставим это в первое уравнение: (\frac{S}{2v_1} - \frac{S}{2 \cdot \frac{4}{3}v_1} = \frac{1}{4}) (\frac{S}{2v_1} - \frac{3S}{8v_1} = \frac{1}{4}) (\frac{4S - 3S}{8v_1} = \frac{1}{4}) (\frac{S}{8v_1} = \frac{1}{4}) (S = 2v_1), откуда (v_1 = \frac{S}{2}) (v_2 = \frac{4}{3} \cdot \frac{S}{2} = \frac{2S}{3}) Тогда время велосипедиста: (t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{\frac{S}{2}} = 2) часа. Время автомобилиста: (t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{\frac{2S}{3}} = \frac{3}{2} = 1.5) часа. Ответ: Велосипедист затратил на путь из А в Б **2 часа**, а автомобилист – **1.5 часа**.