Задача 4: Исследуйте функцию на монотонность y = x⁴- 2x² - 3.

Исследуем функцию $$y = x^4 - 2x^2 - 3$$ на монотонность.

1. Найдем производную функции:

$$y' = 4x^3 - 4x$$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$$4x^3 - 4x = 0$$

$$4x(x^2 - 1) = 0$$

$$4x(x - 1)(x + 1) = 0$$

Критические точки: $$x = -1, 0, 1$$.

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

- Интервал $$(-\infty; -1)$$: выберем $$x = -2$$, $$y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 + 8 = -24 < 0$$ (функция убывает).

- Интервал $$(-1; 0)$$: выберем $$x = -0.5$$, $$y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0$$ (функция возрастает).

- Интервал $$(0; 1)$$: выберем $$x = 0.5$$, $$y'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0$$ (функция убывает).

- Интервал $$(1; +\infty)$$: выберем $$x = 2$$, $$y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24 > 0$$ (функция возрастает).

4. Сформулируем вывод:

- Функция убывает на интервалах $$(-\infty; -1)$$ и $$(0; 1)$$.

- Функция возрастает на интервалах $$(-1; 0)$$ и $$(1; +\infty)$$.

Ответ: Функция убывает на $$(-\infty; -1)$$ и $$(0; 1)$$; функция возрастает на $$(-1; 0)$$ и $$(1; +\infty)$$.