Задача 17: Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 51 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 34 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость первого автомобиля равна $$v$$ км/ч, а весь путь между А и В равен $$S$$ км. Тогда время, которое первый автомобиль затратил на весь путь, равно $$\frac{S}{v}$$. Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 51 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью $$(v + 34)$$ км/ч. Время, затраченное вторым автомобилем на первую половину пути, равно $$\frac{S}{2 \cdot 51}$$, а на вторую половину пути — $$\frac{S}{2(v+34)}$$. Общее время в пути второго автомобиля равно $$\frac{S}{2 \cdot 51} + \frac{S}{2(v+34)}$$. Так как оба автомобиля прибыли в В одновременно, то время в пути у них одинаковое. Значит: $$\frac{S}{v} = \frac{S}{2 \cdot 51} + \frac{S}{2(v+34)}$$ Разделим обе части уравнения на $$S$$ (поскольку $$S
eq 0$$): $$\frac{1}{v} = \frac{1}{102} + \frac{1}{2(v+34)}$$ Умножим обе части уравнения на $$102v(v+34)$$: $$102(v+34) = v(v+34) + 51v$$ $$102v + 3468 = v^2 + 34v + 51v$$ $$v^2 - 17v - 3468 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3468) = 289 + 13872 = 14161 = 119^2$$ $$v_1 = \frac{17 + 119}{2} = \frac{136}{2} = 68$$ $$v_2 = \frac{17 - 119}{2} = \frac{-102}{2} = -51$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 68$$ км/ч. Ответ: 68 км/ч