Задача 19: Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость первого автомобиля равна $$v$$ км/ч, а весь путь между А и В равен $$S$$ км. Тогда время, которое первый автомобиль затратил на весь путь, равно $$\frac{S}{v}$$. Второй автомобиль первую половину пути проехал со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью $$(v + 9)$$ км/ч. Время, затраченное вторым автомобилем на первую половину пути, равно $$\frac{S}{2 \cdot 30}$$, а на вторую половину пути — $$\frac{S}{2(v+9)}$$. Общее время в пути второго автомобиля равно $$\frac{S}{60} + \frac{S}{2(v+9)}$$. Так как оба автомобиля прибыли в В одновременно, то время в пути у них одинаковое. Значит: $$\frac{S}{v} = \frac{S}{60} + \frac{S}{2(v+9)}$$ Разделим обе части уравнения на $$S$$ (поскольку $$S
eq 0$$): $$\frac{1}{v} = \frac{1}{60} + \frac{1}{2(v+9)}$$ Умножим обе части уравнения на $$60v(v+9)$$: $$60(v+9) = v(v+9) + 30v$$ $$60v + 540 = v^2 + 9v + 30v$$ $$v^2 - 21v - 540 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 441 + 2160 = 2601 = 51^2$$ $$v_1 = \frac{21 + 51}{2} = \frac{72}{2} = 36$$ $$v_2 = \frac{21 - 51}{2} = \frac{-30}{2} = -15$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 36$$ км/ч. Ответ: 36 км/ч