Задача 1: Из точки D, которая лежит вне плоскости α, проведены к этой плоскости наклонные DK и DB, образующие с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите длину проекции наклонной DK на плоскость α, если DB = 10√3 см.

Решение задачи 1: 1. Обозначим проекции наклонных DK и DB на плоскость α как OK и OB соответственно. Тогда треугольники DOK и DOB - прямоугольные. 2. Угол между наклонной и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Таким образом, \(\angle DKO = 45^\circ\) и \(\angle DBO = 60^\circ\). 3. В прямоугольном треугольнике DOK: \(\tan(\angle DKO) = \frac{DO}{OK}\) \(\tan(45^\circ) = \frac{DO}{OK}\) \(1 = \frac{DO}{OK}\) \(DO = OK\) 4. В прямоугольном треугольнике DOB: \(\tan(\angle DBO) = \frac{DO}{OB}\) \(\tan(60^\circ) = \frac{DO}{OB}\) \(\sqrt{3} = \frac{DO}{OB}\) \(DO = OB \cdot \sqrt{3}\) 5. Выразим OB через DB, используя косинус угла DBO: \(\cos(\angle DBO) = \frac{OB}{DB}\) \(\cos(60^\circ) = \frac{OB}{10\sqrt{3}}\) \(\frac{1}{2} = \frac{OB}{10\sqrt{3}}\) \(OB = 5\sqrt{3}\) 6. Найдем DO: \(DO = OB \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15\) 7. Так как DO = OK, то OK = 15 см. Ответ: Длина проекции наклонной DK на плоскость α равна 15 см. Развернутый ответ для школьника: Мы решали задачу с использованием тригонометрических функций в прямоугольных треугольниках. Сначала мы определили, что такое проекция наклонной на плоскость. Затем, используя тангенс и косинус углов, которые образуют наклонные с плоскостью, мы выразили высоту (DO) через проекции OK и OB. Нашли OB через DB и косинус угла 60 градусов. Нашли DO, а так как DO равно OK, получили ответ для длины проекции DK.