Задача 3: Угол между плоскостями треугольников ABC и ABD равен 45°. Треугольник ABC - равносторонний со стороной 4√3 см, треугольник ABD - равнобедренный, AD = BD = √14 см. Найдите отрезок CD.

Решение задачи 3: 1. Пусть E - середина отрезка AB. Так как треугольник ABC равносторонний, CE перпендикулярно AB. Аналогично, так как треугольник ABD равнобедренный (AD = BD), DE перпендикулярно AB. 2. Угол между плоскостями ABC и ABD - это угол между перпендикулярами к линии пересечения плоскостей (AB), проведенными в этих плоскостях, то есть \(\angle CED = 45^\circ\). 3. Найдем длину CE. В равностороннем треугольнике ABC со стороной a: \(CE = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6\) см 4. Найдем длину DE. В равнобедренном треугольнике ABD (AD = BD = \(\sqrt{14}\) см) и AE = BE = \(\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) см, используя теорему Пифагора: \(DE = \sqrt{AD^2 - AE^2} = \sqrt{(\sqrt{14})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{14 - 12} = \sqrt{2}\) см 5. Рассмотрим треугольник CDE. Из теоремы косинусов: \(CD^2 = CE^2 + DE^2 - 2 \cdot CE \cdot DE \cdot \cos(\angle CED)\) \(CD^2 = 6^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)\) \(CD^2 = 36 + 2 - 12 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\) \(CD^2 = 38 - 12 \cdot \frac{2}{2} = 38 - 12 = 26\) \(CD = \sqrt{26}\) см Ответ: Отрезок CD равен \(\sqrt{26}\) см. Развернутый ответ для школьника: В этой задаче мы использовали комбинацию планиметрии и стереометрии. Сначала мы нашли длины перпендикуляров CE и DE в треугольниках ABC и ABD соответственно. Затем, зная угол между плоскостями и длины CE и DE, мы применили теорему косинусов, чтобы найти длину отрезка CD.