Задача 2: Из вершины прямоугольника на диагональ опущен перпендикуляр, который делит ее на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите тангенс угла, образованного меньшей стороной и диагональю.

Решение: Обозначим прямоугольник как ABCD, где AB - меньшая сторона, BC - большая сторона, а AC - диагональ. Пусть из вершины B опущен перпендикуляр BE на диагональ AC. Тогда AE = 9 см, EC = 16 см. Пусть угол между меньшей стороной AB и диагональю AC равен \(\alpha\). Нам нужно найти \(\tan(\alpha)\). Так как \(BE \perp AC\), то \(\triangle ABE\) и \(\triangle BCE\) - прямоугольные треугольники. В прямоугольном треугольнике ABC: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) \(AC = AE + EC = 9 + 16 = 25\) см Из подобия треугольников ABC, ABE и BCE следует: \(BE^2 = AE \cdot EC = 9 \cdot 16 = 144\) \(BE = \sqrt{144} = 12\) см Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABE: \(\tan(\alpha) = \frac{BE}{AE} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}\) Ответ: \(\frac{4}{3}\)