Задача 1: Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная боковой стороне, равна 13 см, а медиана, проведенная к основанию, - 24 см. Найдите среднюю линию, параллельную основанию треугольника.

Решение: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является высотой. Обозначим вершины треугольника как A, B и C, где AB = BC (боковые стороны), а AC - основание. Пусть M - середина AC, тогда BM - медиана и BM = 24 см. Пусть N - середина BC, тогда AN - медиана и средняя линия, параллельная основанию, равна половине основания. Средняя линия, параллельная боковой стороне AB, равна половине основания AC и равна 13 см. Обозначим среднюю линию, параллельную основанию AC, как DE, где D - середина AB, а E - середина BC. Нам нужно найти длину DE. Так как средняя линия, параллельная боковой стороне, равна 13 см, то AC/2 = 13 см, следовательно, AC = 26 см. Теперь мы знаем, что BM = 24 см и AC = 26 см. Так как M - середина AC, то AM = MC = AC/2 = 26/2 = 13 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM (так как BM - высота). По теореме Пифагора: $$AB^2 = AM^2 + BM^2$$ $$AB^2 = 13^2 + 24^2 = 169 + 576 = 745$$ $$AB = \sqrt{745}$$ см Чтобы найти среднюю линию DE, параллельную основанию, нам нужно найти половину основания AC. Мы уже нашли, что AC = 26 см. Следовательно, DE = AC/2 = 26/2 = 13 см. Ответ: 13 см.