Задача 6. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и BC можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АB + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции.

Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма ее боковых сторон равна сумме оснований. Если вокруг трапеции можно описать окружность, то она является равнобедренной. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть $$EF = \frac{AD + BC}{2}$$. Периметр трапеции равен сумме всех сторон: $$P = AB + BC + CD + AD$$. Так как $$AB + CD + EF = 18$$, и $$EF = \frac{AD + BC}{2}$$, то $$AB + CD + \frac{AD + BC}{2} = 18$$. Умножим обе части уравнения на 2: $$2AB + 2CD + AD + BC = 36$$. Так как трапеция описана около окружности, $$AB + CD = AD + BC$$, следовательно, $$2(AB + CD) = 36$$. $$AB + CD = 18$$. Значит, $$AD + BC = 18$$. Периметр трапеции $$P = AB + BC + CD + AD = (AB + CD) + (AD + BC) = 18 + 18 = 36$$. Ответ: 36