Задача 12: Какие из следующих утверждений верны? 1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. 2) Любые два равнобедренных треугольника подобны. 3) Любые два прямоугольных треугольника подобны. 4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.

1) Проверим первое утверждение по теореме Пифагора: $$6^2 + b^2 = 10^2$$, то есть $$36 + b^2 = 100$$. Следовательно, $$b^2 = 100 - 36 = 64$$, и $$b = \sqrt{64} = 8$$. Значит, первое утверждение верно. 2) Второе утверждение неверно. Равнобедренные треугольники могут иметь разные углы, и, следовательно, не быть подобными. 3) Третье утверждение также неверно. Прямоугольные треугольники подобны только в том случае, если у них равны острые углы. 4) Проверим четвертое утверждение. Если $$AB^2 + BC^2 = AC^2$$, то треугольник ABC прямоугольный. $$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$, и $$5^2 = 25$$. Так как $$3^2 + 4^2 = 5^2$$, треугольник ABC прямоугольный, а не тупоугольный. Значит, четвертое утверждение неверно. Таким образом, верно только первое утверждение. Ответ: 1