Задача 10: Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.

Сначала найдем второй катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$, где $$c$$ - гипотенуза, $$a$$ и $$b$$ - катеты. В нашем случае, $$12^2 + b^2 = 13^2$$, то есть $$144 + b^2 = 169$$. Решаем уравнение: $$b^2 = 169 - 144 = 25$$. Следовательно, $$b = \sqrt{25} = 5$$. Теперь найдем площадь прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2}ab$$. В нашем случае, $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$$. Ответ: 30