Задача 15. Компания готовит подарочные наборы двух видов. > Для набора типа А требуется 4 единицы товара, и его продажа приносит 800 р. > Для набора типа В требуется 5 единиц товара, и его продажа приносит 900 р. Всего на складе есть 162 единицы товара, которые можно любым образом распределить между наборами этих двух видов. Какую наибольшую выручку можно получить от продажи всех собранных наборов? Обоснуйте ответ.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Пусть \( x \) - количество наборов типа А, а \( y \) - количество наборов типа В.
• Шаг 2: Общее количество товара: \[ 4x + 5y = 162 \]
• Шаг 3: Выручка: \[ P = 800x + 900y \]
• Шаг 4: Выразим \( x \) через \( y \) из первого уравнения: \[ x = \frac{162 - 5y}{4} \]
• Шаг 5: Подставим это выражение во второе уравнение: \[ P = 800 \cdot \frac{162 - 5y}{4} + 900y = 200(162 - 5y) + 900y = 32400 - 1000y + 900y = 32400 - 100y \]
• Шаг 6: Чтобы максимизировать выручку, нужно минимизировать \( y \). Однако, \( x \) и \( y \) должны быть целыми числами. Найдем максимальное целое значение \( y \), при котором \( x \) будет целым: \[ 162 - 5y \] должно делиться на 4.
• Шаг 7: Если \( y = 2 \), то \( x = \frac{162 - 10}{4} = \frac{152}{4} = 38 \)
• Шаг 8: Вычислим выручку: \[ P = 800 \cdot 38 + 900 \cdot 2 = 30400 + 1800 = 32200 \]
• Шаг 9: Проверим другие варианты. Если \( y = 6 \), то \( x = \frac{162 - 30}{4} = \frac{132}{4} = 33 \) \[ P = 800 \cdot 33 + 900 \cdot 6 = 26400 + 5400 = 31800 \]
• Шаг 10: Если \( y = 10 \), то \( x = \frac{162 - 50}{4} = \frac{112}{4} = 28 \) \[ P = 800 \cdot 28 + 900 \cdot 10 = 22400 + 9000 = 31400 \]
• Шаг 11: Если \( y = 30 \), то \( x = \frac{162 - 150}{4} = \frac{12}{4} = 3 \) \[ P = 800 \cdot 3 + 900 \cdot 30 = 2400 + 27000 = 29400 \]

Ответ: 32200 р.