Задача 5: На рисунке PN=NT, РК – биссектриса угла МРТ, ∠NPT=70°, ∠РКМ=55°. Докажите, что прямые РТ и МК параллельны. Найдите угол РКТ.

1. Рассмотрим треугольник PNT. Так как PN = NT, то треугольник PNT равнобедренный. Следовательно, углы при основании PT равны: ∠NPT = ∠NTP = 70°. 2. Найдем угол ∠PNT: ∠PNT = 180° - ∠NPT - ∠NTP = 180° - 70° - 70° = 40°. 3. Так как PK – биссектриса угла MPT, то ∠MPK = ∠TPK. Пусть ∠TPK = x. Тогда ∠MPT = 2x. 4. ∠NPT + ∠MPT = 180° (смежные углы). 70° + 2x = 180° 2x = 110° x = 55° 5. Значит, ∠TPK = 55°. 6. Рассмотрим прямые PT и MK, и секущую PK. Углы ∠TPK и ∠PKM являются внутренними накрест лежащими углами. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. ∠TPK = ∠PKM = 55°. Следовательно, прямые PT и MK параллельны. 7. Найдем угол РКТ. Так как PT || MK, то углы ∠TPK и ∠PKM – внутренние накрест лежащие и равны. Угол ∠RKM = 55°, как и дано. Угол ∠PKT + ∠RKM = 180° (смежные углы) ∠PKT = 180° - 55° = 125°. 8. ∠РКТ = 125°. **Ответ: Прямые PT и MK параллельны, ∠РКТ = 125°**