Задача 2: Найдите неизвестные стороны и площадь прямоугольного треугольника ABC (угол C – прямой, CH – высота), если известно, что BC = 12 см, BH = 16 см.

В условии задачи допущена ошибка, так как высота не может быть больше катета, на который она опущена. В прямоугольном треугольнике, если угол C - прямой, то BH не может быть больше BC. Предположим, что BH = 5 см. Тогда решение будет следующим: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. По теореме Пифагора найдем CH: $$CH = \sqrt{BC^2 - BH^2} = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$$ см. 2. Рассмотрим треугольник ABC и применим формулу $$BC^2 = AB \cdot BH$$. Тогда $$12^2 = AB \cdot 5$$, откуда $$AB = \frac{144}{5} = 28.8$$ см. 3. Найдем сторону AC по теореме Пифагора для треугольника ABC: $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{28.8^2 - 12^2} = \sqrt{829.44 - 144} = \sqrt{685.44} = 26.18$$ см (округлённо). 4. Найдем площадь треугольника ABC: $$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 26.18 = 157.08$$ см² (округлённо). Ответ: AC ≈ 26.18 см, AB = 28.8 см, S ≈ 157.08 см².