Задача 3: Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен $$6\sqrt{3}$$ см, а его проекция на гипотенузу — 9 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой угол, катет AC = $$6\sqrt{3}$$ см, и проекция катета AC на гипотенузу AB равна 9 см. Обозначим эту проекцию как AD, где D - точка на гипотенузе AB. 1. Используем свойство прямоугольного треугольника: катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: $$AC^2 = AD \cdot AB$$ 2. Выразим гипотенузу AB: $$AB = \frac{AC^2}{AD} = \frac{(6\sqrt{3})^2}{9} = \frac{36 \cdot 3}{9} = \frac{108}{9} = 12$$ см 3. Теперь найдем косинус угла A: $$\cos(A) = \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 4. Определим угол A, косинус которого равен $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Это угол 30 градусов. $$\angle A = 30^{\circ}$$ 5. Найдем угол B, зная, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов: $$\angle B = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$ Ответ: Острые углы треугольника равны 30° и 60°.