Задача 1: Найдите синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольной трапеции, меньшая боковая сторона которой равна 5 см, а разность оснований — 12 см.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB - меньшая боковая сторона, равная 5 см, AD и BC - основания, и угол CDA - острый угол, для которого нужно найти синус, косинус и тангенс. Разность оснований равна 12 см, то есть AD - BC = 12 см. 1. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Тогда ABHD - прямоугольник, и AH = BC. Следовательно, HD = AD - AH = AD - BC = 12 см. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. В нем BH = AB = 5 см (так как ABHD - прямоугольник), и HD = 12 см. 3. Найдем гипотенузу BD этого треугольника по теореме Пифагора: $$BD = \sqrt{BH^2 + HD^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ см 4. Теперь найдем синус, косинус и тангенс угла HDB, который является острым углом трапеции: $$\sin(\angle HDB) = \frac{BH}{BD} = \frac{5}{13}$$ $$\cos(\angle HDB) = \frac{HD}{BD} = \frac{12}{13}$$ $$\tan(\angle HDB) = \frac{BH}{HD} = \frac{5}{12}$$ Ответ: Синус угла равен $$\frac{5}{13}$$, косинус угла равен $$\frac{12}{13}$$, тангенс угла равен $$\frac{5}{12}$$.