Задача 4: Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 3\(\pi\), а угол сектора равен 240°.

Решение: Длина дуги кругового сектора связана с радиусом круга и углом сектора следующим образом: \[L = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r\] где: - L - длина дуги, - \(\theta\) - угол сектора в градусах, - r - радиус круга. Нам известны L и \(\theta\), нужно найти радиус r: \[3\pi = \frac{240}{360} \cdot 2\pi r\] \[3\pi = \frac{2}{3} \cdot 2\pi r\] \[3\pi = \frac{4}{3} \pi r\] Разделим обе части уравнения на \(\pi\): \[3 = \frac{4}{3} r\] Умножим обе части на 3/4: \[r = 3 \cdot \frac{3}{4}\] \[r = \frac{9}{4}\] \[r = 2.25\] Теперь найдем площадь сектора по формуле: \[S_{сектора} = \frac{\theta}{360} \cdot \pi r^2\] Подставляем значения: \[S_{сектора} = \frac{240}{360} \cdot \pi \cdot (2.25)^2\] \[S_{сектора} = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot 5.0625\] \[S_{сектора} = \frac{2}{3} \cdot 5.0625 \pi\] \[S_{сектора} \approx \frac{2}{3} \cdot 5.0625 \cdot 3.14159\] \[S_{сектора} \approx 10.602875 / 3 * 2\] \[S_{сектора} \approx 10.602875\] Ответ: Площадь кругового сектора приблизительно равна 10.602875.