Задача 10: Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 3, и на 5, и на 7 даёт в остатке 2 и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти число, которое удовлетворяет следующим условиям: 1. Трёхзначное. 2. При делении на 3, 5 и 7 даёт остаток 2. 3. Состоит только из двух различных цифр. Сначала найдём число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт остаток 0. Это будет наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел: \(НОК(3, 5, 7) = 3 * 5 * 7 = 105\) Теперь найдём числа, которые при делении на 3, 5 и 7 дают остаток 2. Это будут числа вида 105n + 2, где n - натуральное число. Проверим несколько значений n, чтобы найти трёхзначное число: * При \(n = 1\), число равно \(105 * 1 + 2 = 107\). * При \(n = 2\), число равно \(105 * 2 + 2 = 212\). * При \(n = 3\), число равно \(105 * 3 + 2 = 317\). * При \(n = 4\), число равно \(105 * 4 + 2 = 422\). * При \(n = 5\), число равно \(105 * 5 + 2 = 527\). * При \(n = 6\), число равно \(105 * 6 + 2 = 632\). * При \(n = 7\), число равно \(105 * 7 + 2 = 737\). * При \(n = 8\), число равно \(105 * 8 + 2 = 842\). * При \(n = 9\), число равно \(105 * 9 + 2 = 947\). Теперь посмотрим, какие из этих чисел состоят только из двух различных цифр: * 107 - не подходит. * 212 - подходит (цифры 1 и 2). * 317 - не подходит. * 422 - подходит (цифры 2 и 4). * 527 - не подходит. * 632 - не подходит. * 737 - подходит (цифры 3 и 7). * 842 - не подходит. * 947 - не подходит. Таким образом, подходят числа 212, 422 и 737. В ответе нужно указать какое-нибудь одно такое число. Ответ: 212