Задача 1: Найти объем пирамиды FABC, если высота FH падает на середину стороны AB, треугольник ABC правильный со стороной 6, FC = √30.

Для решения этой задачи нам понадобится формула объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} * S_{осн} * h$ Где $V$ - объем пирамиды, $S_{осн}$ - площадь основания, $h$ - высота пирамиды. 1. Основание – правильный треугольник ABC со стороной 6. Найдем его площадь: $S_{осн} = \frac{a^2 * \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 * \sqrt{3}}{4} = \frac{36 * \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ 2. Найдем высоту пирамиды FH. Так как FH падает на середину AB, обозначим эту точку H. Рассмотрим треугольник FHC. Мы знаем, что FC = √30. Необходимо найти HC. 3. Так как треугольник ABC правильный, то HC является медианой, а также высотой. Следовательно, HC можно найти по формуле высоты равностороннего треугольника: $HC = \frac{a * \sqrt{3}}{2} = \frac{6 * \sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ 4. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник FHC, где FC = √30 и HC = $3\sqrt{3}$. По теореме Пифагора найдем FH: $FH^2 + HC^2 = FC^2$ $FH^2 = FC^2 - HC^2 = (\sqrt{30})^2 - (3\sqrt{3})^2 = 30 - 27 = 3$ $FH = \sqrt{3}$ 5. Теперь у нас есть все необходимые данные для нахождения объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} * S_{осн} * FH = \frac{1}{3} * 9\sqrt{3} * \sqrt{3} = \frac{1}{3} * 9 * 3 = 9$ Ответ: Объем пирамиды равен 9.