Задача 3: В основании пирамиды MABCD лежит равнобедренная трапеция, AD и BC – основания, AC ∩ BD = O, MO – высота пирамиды, AC ⊥ BD, tg∠MAC = 3, BO = 3, AO = 2. Найдите объем пирамиды.

1. Площадь трапеции в основании: Так как AC ⊥ BD, площадь трапеции можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними. Угол между диагоналями равен 90 градусов, так что синус равен 1. $S_{ABCD} = \frac{1}{2} * AC * BD$ 2. Найдем AC и BD: AC = AO + OC, BD = BO + OD. Из условия AC ⊥ BD следует, что трапеция равнобедренная, значит, диагонали равны: AC = BD. Тогда AO + OC = BO + OD. Известно AO = 2 и BO = 3. Также из свойств равнобедренной трапеции следует, что AO = DO и BO = CO. Тогда OC = 3, OD = 2. AC = 2 + 3 = 5, BD = 3 + 2 = 5. $S_{ABCD} = \frac{1}{2} * 5 * 5 = \frac{25}{2} = 12.5$ 3. Найдем высоту пирамиды MO: Дано tg∠MAC = 3. В прямоугольном треугольнике AMO: tg∠MAC = MO / AO. Значит, MO = tg∠MAC * AO = 3 * 2 = 6. 4. Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} * S_{ABCD} * MO = \frac{1}{3} * 12.5 * 6 = 12.5 * 2 = 25$ Ответ: Объем пирамиды равен 25.